$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx + \int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે,અને $\{x\} = x - [x]$ છે. તો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $M$ શોધો જેના માટે $\int_1^M \{x\}^{[x]} dx > 1$ થાય.

$\alpha$ ની કિંમતો જે $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $\alpha \in [0, 2\pi]$,તે નીચે મુજબ છે:

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ જ્યાં $x$ એ અસમતા $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ નું સમાધાન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો $f(x)$ નો વિસ્તાર $[a, b]$ હોય,તો $(a + b)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ હોય,તો અચળાંકો $A$ અને $B$ અનુક્રમે શોધો.